k এর মান কত হলে 4x – y + 3 = 0 এবং 2x + ky = 1 = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

দুইটি সরলরেখা কখন পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হবে, তা নির্ধারণ করার জন্য তাদের ঢালের গুণাবলী বিশ্লেষণ করা হয়। নিচে এই শর্তগুলি বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হলো:

১. দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত

দুটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের ঢাল সমান হয়।

যদি সরলরেখা \( L_1 \) এবং \( L_2 \)-এর ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তাহলে রেখাদুটি সমান্তরাল হবে যদি:
\[
m_1 = m_2
\]

উদাহরণ:
ধরুন, সরলরেখা \( L_1 \) এবং \( L_2 \)-এর সমীকরণ যথাক্রমে \( y = 2x + 3 \) এবং \( y = 2x - 5 \)। এখানে, উভয় রেখার ঢাল \( m = 2 \)। সুতরাং, \( L_1 \) এবং \( L_2 \) রেখাদুটি পরস্পর সমান্তরাল।

২. দুইটি সরলরেখা লম্ব হওয়ার শর্ত

দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ঢালের গুণফল \( -1 \) হয়।

যদি সরলরেখা \( L_1 \) এবং \( L_2 \)-এর ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তাহলে রেখাদুটি পরস্পর লম্ব হবে যদি:
\[
m_1 \times m_2 = -1
\]

অথবা, \( m_2 = -\frac{1}{m_1} \)।

উদাহরণ:
ধরুন, একটি সরলরেখার সমীকরণ \( y = 3x + 2 \), যার ঢাল \( m_1 = 3 \)। যদি আরেকটি সরলরেখা \( y = -\frac{1}{3}x + 4 \) হয়, তাহলে এর ঢাল \( m_2 = -\frac{1}{3} \)। এখানে,
\[
m_1 \times m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1
\]
অতএব, এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব।

সংক্ষেপে:

• সমান্তরাল রেখা: \( m_1 = m_2 \)
• লম্ব রেখা: \( m_1 \times m_2 = -1 \)

এই শর্তগুলির মাধ্যমে দুইটি রেখার সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।